2.3 PROBABILIDAD CON TÉCNICAS DE CONTEO: AXIOMAS, TEOREMAS.

AXIOMA

1.    Segun ( Wackerly, Dennis D./, William Mendenhall III/ Richard L. Scheaffer , 2010)

“Axioma 1: P(A) ≥ 0.

Axioma 2: P(S) = 1.

Axioma 3: Si A1, A2, A3,… forman una secuencia de eventos por pares mutuamente excluyentes en S (es decir, Ai  ∩ Aj = ∅ si i ≠ j), entonces

P (A1 ∪A2 ∪A3 ∪….,) = Σi=1 P (Ai )”(pág.30).

LOS AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD

2.    De  acuerdo a (MURRAY R. S., 1976)

“Supóngase que tenemos un espacio muestral ﻯ. Si  ﻯ es discreto todos los subconjuntos corresponden a sucesos y recíprocamente, pero si ﻯ es continuo solamente subconjuntos especiales (llamados medibles) corresponden a sucesos. A cada suceso A en la clase C de sucesos asociamos un número real P (A), es decir P es una función de valor real definida en f. Así P se llama la función de probabilidad, y P(A) la probabilidad del suceso A, si se satisfacen los axiomas siguientes:

Axioma 1. Para cada suceso A en la clase C P(A) > 0

Axioma 2. Para el suceso cierto o seguro ﻯ  en la clase C  P (ﻯ) = 1

Axioma 3. Para cualquier número de sucesos mutuamente excluyentes A₁, B₂,. . . en  la clase C

P (A₁ u A₂ u...) = P (A₁) + P (A₂) +…, En particular, para solo dos sucesos mutuamente excluyentes A₁, A₂,

P (A₁ U A₂ ) = P(A₁) +P(A₂)”(pág.6).

Axiomas de probabilidad

3.    (Montgomery, D; Runger, G., 2002) Señalan que:

“La probabilidad es un número que se asigna a cada miembro de una colección de eventos de un experimento aleatorio y que satisface las siguientes propiedades.

Si S es el espacio muestral y E  es cualquier evento del experimento aleatorio,

(1)  P(S)=1

(2)  0≤P(E)≤1

(3)  Para dos eventos E_{1 y} E_{2 con} E₁ ∩ E_2=0, P (E₁ U E₂)= P (E₁)+P (E₂).

Los axiomas y sus consecuencias restringen las asignaciones de probabilidades de una manera que permite interpretar estas como frecuencias relativas sin inconsistencias.  La propiedad 0≤P (E)≤1 equivale  al requisito de que la frecuencia relativa debe ser un numero entre cero y uno. La propiedad P(S)=1 es una consecuencia  del hecho de que un resultado del espacio muestral ocurre cada prueba de un experimento. En consecuencia, la frecuencia relativa de S es uno. La propiedad (3) implica que si los eventos  E_{1 y} E_{2 no tienen} resultados en común, entonces la frecuencia relativa de los resultados con E₁ U E₂ es la suma de las frecuencias  relativas de los resultados E_{1 y} E_2.

las axiomas anteriores implican los siguientes resultados. Las deducciones se dejan como  ejercicios al término de esta sección. Ahora, P (0)=0 y para cualquier E, P (E^´)=1 –P(E)

Si la frecuencia relativa del evento E es 0.4, la interpretación de la frecuencia relativa implica que la frecuencia relativa de E´es  0.6. Por parte, si el evento E₁ está contenido en el evento E_2, entonces P(E₁)≤P(E₂)” (pág. 66).

Teoremas

1.    Según  (MURRAY R. S., 1976)

“De los teoremas anteriores podemos demostrar varios teoremas sobre probabilidad que son importantes en el estudio posterior.

Teorema 7-14: Si A ₁ ﮯA₂ entonces P(A₁ ≤ P(A₂) y P(A₂-A₁) = P(A₂) - P(A₁).

Teorema 1-15: Para cada suceso A

0≤P(A) ≤1

Es decir la probabilidad de un suceso está entre 0 y 1

Teorema 1-16: P (0)=0

Es decir el suceso imposible tiene probabilidad cero.

Teorema 1-17: Si A´ es el complemento de A entonces

P (A´)=1-P(A)

Teorema 1-18: Si A = A₁ UA ₂ U. . .U A_n y A₁, A₂,. . ., A_n son sucesos mutuamente excluyentes, entonces

P(A)= P(A₁) + P(A₂) +… + P(A_n)

En particular si A=ﻯ el espacio muestral, entonces

P (A₁) +P(A₂)+...+P(4_n) = 1

Teorema 1-19: Si A y B son dos sucesos cualesquier,  entonces

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

Generalizando, si A₁, A₂, A₃ son tres sucesos cualesquiera, entonces

P (A₁U A₂UA₂) =P (A₁) + P (A₂) + P (A₃)

- P (A₁∩A₂) – P (A₂ ∩ A₃) – P (A₃∩A₁)

+ P (A₁∩A₂∩A₃)

Teorema 1-20: Para dos sucesos A y B

P(A) = P (A∩B)+P(A∩B´)

Teorema 1-21: Si un suceso A debe resultar en uno de los sucesos mutuamente excluyentes A₁, A₂,...,A_n, entonces

P (A) = P(A ∩ A₁) + P(A∩A₂)+… + P(A ∩ A_n)” (pág.7).

 

Lista de referencia

·         (Wackerly, Dennis D./, William Mendenhall III/ Richard L. Scheaffer 2010).” Estadística matemática con aplicaciones”. (7 ed.). Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,

·         (Murray R. S., Larry J. S. 2009). “ESTADÍSTICA”. (4° ed.). México: McGraw-Hill/INTERAMERICANA.

·         Montgomery, D; Runger, G. “Probabilidad y Estadística aplicadas a la ingeniería”. 2ª. Edición. Limusa. México. 2002