Probabilidad
condicional
1.
Según (Murray R., Larry J. 2009)
“Si E1 y E2 son dos eventos, la
probabilidad de que ocurra E2, dado que E1 ha ocurrido, se denota
Pr{E2|E1} o Pr{E2
dado E1} y se
conoce como la probabilidad condicional de E2 dado que E1 ha
ocurrido. Si la ocurrencia o no ocurrencia de E1 no afecta la
probabilidad de ocurrencia de E2, entonces Pr {E2|E} = Pr{E2} y se dice que E1 y E2
son eventos independientes, de lo contrario se dice que son eventos
dependientes. Si
se denota con E1E2 el evento de que “tanto E1 como E2
ocurran”, evento al que suele llamarse evento compuesto, entonces Pr{E1E2} _ Pr{E1}
Pr{E2_E1} (1)
En particular, Pr{E1E2} _ Pr{E1}
Pr{E2} para eventos independientes (2)
Para tres eventos E1, E2 y E3,
tenemos Pr{E1E2E3} _ Pr{E1} Pr{E2_E1}
Pr{E3_E1E2} (3) Es decir, la probabilidad de que
ocurra E1, E2 y E3 es igual a (la probabilidad de E1)
× (la probabilidad de E2
dado que E1 ha ocurrido) ×
(la
probabilidad de E3 dado que E1 y E2 han ocurrido). En
particular, Pr{E1E2E3} _ Pr{E1} Pr{E2} Pr{E3}
para eventos independientes (4) En general, si E1, E2, E3,
. . . , En son n eventos independientes que tienen probabilidades
p1, p2, p3, . . . , pn, entonces la probabilidad de
que ocurra E1 y E2 y E3 y . . . En es p1p2p3
. . . pn. (pág. 140).
(Murray R. S., Larry J. S. 2009). “ESTADÍSTICA”. (4°
ed.). México: McGraw-Hill/INTERAMERICANA.
Probabilidad condicional
1. De acuerdo a
(RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H.
MYERS, SHARON L. MYERS Y KEYING YE., 2012).
“La
probabilidad de que ocurra un evento B cuando se sabe que ya ocurrio
algún evento A se llama probabilidad
condicional y se denota con P(B|A).
El simbolo P(B|A) por lo general se lee como “la
probabilidad de que ocurra B, dado que ocurrio A”, o simplemente,
“la
probabilidad de B, dado A” .(pág. 62).
Definición
“La
probabilidad condicional de B, dado A, que se denota con P(B|A),
se define como P (B |A) = P (A ∩B ) P (A), siempre que P(A) > 0” (pág. 63).
(RONALD
E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS, SHARON L. MYERS Y KEYING YE., 2012).”Probabilidad
y estadística para ingeniería y ciencias”. (9 ed.). México :PEARSON EDUCACIÓN
Definición
de independiente
1. (RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS, SHARON L. MYERS Y
KEYING YE., 2012)Señalan que:
“Dos
eventos A y B son independientes
si y solo si
P(B|A) = P(B)
o P(A|B) = P(A),
si
se asume la existencia de probabilidad condicional. De otra forma, A y B
son dependientes.” (pág.65)
“Se
dice que dos eventos A y B son independientes si se cumple
cualquiera de los siguientes
casos:
P(A B) = P(A),
P(B A) = P(B),
P(A ∩B) = P(A)P(B).
De
otro modo, se dice que los eventos son dependientes.” (pág. 53).
Ejemplos del uso o aplicación
1. De acuerdo a ( Wackerly, Dennis D./,
William Mendenhall III/ Richard L. Scheaffer , 2010)
“Considere
los siguientes eventos en el tiro de un solo dado:
A:
observar un número impar.
B:
observar un número par.
C:
observar un 1 o 2.
a ¿A y B son eventos independientes?
b ¿A y C son eventos independientes?
Solución a Para decidir si A y B son independientes, debemos ver si
satisfacen las condiciones de
En
este ejemplo, P(A) = 1/2, P(B) = 1/2 y P(C) = 1/3. Como A ∩
B = ∅, P (A_B) = 0 y es evidente que P(A_B) ≠ P(A). Los eventos A y B son dependientes.
b ¿A y C son independientes? Observe que P(A_C) = 1/2 y, como antes, P(A) = 1/2. Por
tanto,
P(A_C) = P(A) y A y C son independientes” (pág.54).
2.
Según (Murray R.,
Larry J. 2009)
“Supóngase
que una caja contiene 3 pelotas blancas y 2 pelotas negras. Sea E1 el
evento “la primera pelota que se saca es negra” y E2 el evento “la
segunda pelota que se saca es negra”, donde las pelotas no se vuelvan a colocar
en la caja una vez sacadas. Aquí E1 y E2 son eventos
dependientes.
La probabilidad de que la primera pelota que
se extraiga sea negra es Pr {E1}= 2/(3 +2) = 2/5. La probabilidad de que
la segunda pelota que se extraiga sea negra, dado que la primera pelota que se
extrajo fue negra, es Pr {E2|E1} = 1/(3 +1) _ 1/4. Por lo tanto,
la probabilidad de que las dos pelotas que se extraigan sean negras es
Pr {E1E2} = Pr {E1} Pr {E2|E1}
=2/5*1/4=1/10||” (pág. 141).
1. (Jay devoré, 2008)señala que:
“En
el experimento del lanzamiento de un dado de la página 62 señalamos que P(B|A) =
2/5,
mientras que P (B) =
1/3. Es decir, P (B|A) ≠ P(B),
lo cual indica que B depende de
A. Consideremos ahora un experimento
en el que se sacan 2 cartas, una después de la
Otra,
de una baraja ordinaria, con reemplazo. Los eventos se defi non como
A: la primera carta es un as,
B: la segunda carta es una espada.
Como
la primera carta se reemplaza, nuestro espacio muestral para la primera y
segunda
Cartas
consta de 52 cartas, que contienen 4 ases y 13 espadas. Entonces,
P (B
|A) =1352=14y P (B) =1352=14
Es
decir, P (B|A) = P (B). Cuando esto es cierto, se dice que los eventos A
y B son independientes.”(pág. 77).
(Jay devoré, 2008 ). “Probabilidad y
estadística para ingeniería y ciencias”. (7° ed.).cengage
learning editores s. a de C.V
